Le Nombre

 

      Historique : Chez les premiers hominiens, comme chez les animaux, chacun pourvoyait à ses besoins selon ses moyens. Mais l’intelligence naissante leur fit découvrir les avantages de la spécialisation et de l’échange, qui se développa probablement au moment de la sédentarisation et de la découverte de l’agriculture : échanges entre chasseurs, pêcheurs et agriculteurs. Ils furent alors confrontés à ce que Marx appelle la valeur d’échange qu’il fallut . quantifier, pour dire les quantités et organiser les règles d’échange. Les premiers nombres oraux étaient nés.

   Mais il fallut pour codifier les échanges et pour représenter les réserves inventer des signes, les nombres écrits étaient nés.

      Les premiers signes furent des marques dans l’argile (nous en reparlerons pour la numération) ; beaucoup plus tard, bien après l’invention des premières numérations, apparaissent des signes abstraits.

      L’essentiel est de retenir que l’être humain a été dans l’obligation d’inventer des signes oraux, puis écrits, pour quantifier des collections et communiquer cette quantification.

      .Objectif pédagogique :: Créer chez l’élève, comme pour l’humanité, le besoin de quantifier, pour dire et maîtriser sa propriété ou l’échanger avec un  autre. L’élève sera donc alors motivé, et donc actif, c'est-à-dire sujet et non objet.

       Le jeune enfant connaît intuitivement les nombres 1 et 2, 1=tout seul, 2= une paire. Ce sont donc pour lui des situations et non des nombres. Certains connaissent les premiers nombres par la vie sociale, certains même savent « compter », car on leur a appris en famille la suite des premiers nombres. Il va donc falloir leur faire découvrir, comme de Broglie, ce qu’est un nombre et à quoi il sert.

      Démarche. En réalité pour le jeune enfant le premier vrai nombre est 3. Nous avons vu que 1 et 2 sont des situations. Le premier nombre à inventer est donc le 3, qui s’obtient en intercalant un élément entre les 2 éléments d’une paire. J’ai d’ailleurs constaté , dans un C.A.T., que des adultes débiles profonds maîtrisaient parfaitement le 3 et l’utilisaient même comme base de numération, sans le savoir : ils savaient parfaitement faire des paquets de piquets de 3, de 9 et même de 27, à la demande.

      L’enfant doit découvrir que le nombre sert à désigner et à écrire la quantité d’éléments d’une collection.

      Il faut donc d’abord qu’il construise des collections d’éléments semblables, c'est-à-dire auxquelles on peut appliquer le même nom (cailloux, bonbons, …) ou le même adjectif (rouge, grand, mince,…) en faisant bien attention de ne jamais utiliser un mot ambigu compte tenu de la situation. C’est la condition pour construire une collection. On ne peut faire une collection avec un cheval, une baguette de pain et un briquet !

      Il faut ensuite l’aider à découvrir que le nombre est une propriété de la collection en utilisant des collections très diverses ayant le même nombre d’éléments, car le nombre est indépendant de la nature des éléments qui la constituent. De même il est indépendant de la disposition des éléments dans la collection.

      On étudie ainsi les premiers nombres en les construisant par itération (3=2+1, 4=3+1,…), ce qui leur rendra service plus tard pour l’étude des math.

      Il faut beaucoup de manipulations pour que l’élève soit actif et découvre lui-même  la .nature du nombre (quantité d’éléments d’une collection), et ses propriétés. Exemple : j’ai 3 oranges, j’ajoute une poire, est-ce une nouvelle collection ? Oui si je vois alors des fruits, et je peux dire que 3 fruits et 1 fruit font 4 fruits ;

      Pour cela on multipliera les manipulations, ce qui pose un problème de matériel. Dans les années 60 il existait le matériel Diénez, mais je crois qu’il a disparu. On peut cependant en fabriquer facilement un : on prend des cartons de couleur (jaune, rouge, bleu,…) et on découpe des figures géométriques (carrés, cercles, triangles, rectangles, que les jeunes enfants pourront appeler carrés, ronds, pointus,bandes, par exemple) dans chacune des couleurs. On découpe des grandes et des petites, nettement différenciées pour éviter toute ambiguïté. On pourra même ajouter deux épaisseurs (épais et mince) .

            Mais il faut laisser à la disposition des enfants un matériel très diversifié (billes, cailloux, boutons rondelles,…), mais assez petit pour pouvoir le manipuler facilement, afin que chaque élève puisse jouer avec le matériel qu’il préfère. Ce n’est que lorsque l’élève aura intégré les situations de jeu utiles qu’on pourra passer au matériel de jeu standard (type Diénez) qui facilitera pour le maître le travail collectif. On laissera les enfants jouer à construire des collections nettement définies : collection de ronds, de bleus, de minces, etc.…ou à trouver l’étiquette à mettre sur une collection constituée. Par la suite, pour l’étude de la suite des nombres, ce matériel pourra largement être utilisé. Ils découvriront ainsi à travers des jeux qu’ils pourront inventer, que le nombre est la propriété de la collection, indépendamment de sa nature et de la disposition de ses éléments.

      Dès le nombre 4 on proposera aux élèves après la construction 3+1 de chercher d’autres constructions (2+2) et on fera de même pour tout nouveau nombre. On relèvera au tableau les constructions inventées par les élèves qu’on ordonnera ensuite. Par exemple pour le 6 on aura : 6=5+1=1+5 (ce qui est différent pour la construction )=4+2=2+4=3+3. Ce sont les propriétés du 6, qui lui serviront ultérieurement.

      L’étude des neuf premiers nombres est donc un travail de longue haleine, mais qui permettra à l’enfant de découvrir, à travers ses activités de jeu, la nature et les propriétés des nombres, ce qui fera gagner du temps ultérieurement.

      Il est indispensable de préciser quelques points concernant le jeune enfant et l’abstraction. Les noms et les signes des nombres sont des abstractions, comme les mots et le langage, que l’enfant maîtrise depuis longtemps. Mais il ne faut pas confondre les signes représentatifs abstraits et la pensée abstraite, qui consiste à opérer sur ces signes, en dehors de toute représentation concrète. La pensée abstraite n’est accessible que vers 11 ans, à l’entrée au collège, c’est d’ailleurs le critère qui doit indiquer la maturité de l’enfant permettant cet accès.

      L’enfant va donc en calcul jouer avec des signes. C'est-à-dire qu’il va représenter une situation concrète qu’il a réalisée pour pouvoir  s’en servir ultérieurement. Car la représentation lui permet d’imaginer et de revivre cette situation. Par exemple quand il écrira 3+2=5, il faut qu’il puisse imaginer une collection de 2 carrés réunie avec une collection de 3 carrés, en se rappelant les conditions pour pouvoir réunir deux collections. Ce qui suppose  de nombreuses manipulations concrètes antérieures. C’est ainsi que le langage s’est constitué : les mots, souvent entendus, ont été accolés à des choses, des actions ou des situations, ce qui a permis à l’enfant de pouvoir communiquer  un désir, une situation qu’il vit ou d’imaginer une situation  qu’on lui communique par des mots

 

La numération.

      Historique : Vers le VII ème millénaire av. J.C., quand nos lointains ancêtres ont inventé l’agriculture, ils ont pu faire des réserves de provisions et les échanger. Ils ont donc été obligés pour communiquer d’inventer un moyen de représentation.

      Ils ont commencé par utiliser des cailloux pour représenter une certaine quantité : un caillou pour un élément, utilisant sans le savoir l’équipotence entre deux ensembles, qui est à la base de la construction du nombre. Le mot caillou est d’ailleurs à l’origine de notre mot calcul.

      Plus tard, pour éviter la manipulation des cailloux, ils ont eu l’idée d’utiliser des empreintes de doigt dans des plaques d’argile. Mais les stocks grandissant (stocks de réserve de l’empire sumérien), il fallut trouver un système plus économique de représentation. Ils utilisèrent alors, pour remplacer les cailloux ou .les empreintes, des cônes de bronze et eurent l’idée de réduire le nombre de cônes en utilisant des cônes de tailles différentes : un  petit cône pour un élément, un cône moyen pour 10 petits cônes, un grand cône pour 10 cônes moyens et donc pour 100 petits cônes. La numération était née. C’est donc vers le V ème millénaire que la numération a été inventée dans l’empire sumérien, pour répondre à un besoin de représenter les grands nombres.

      Objectif pédagogique : Faire découvrir à l’enfant la nécessité de la numération  pour maîtriser l’ensemble des nombres possibles, nécessité d’économie. On l’aidera ensuite à inventer les règles de notre numération positionnelle.

      Il est intéressant de connaître quelques aspects de l’évolution de la numération écrite, qui pourront être utilisés occasionnellement par le maître pour montrer le besoin d’économie, plus tard, au C.E. voire au C.M., ce qui facilitera pour l’élève la compréhension des multiples et des sous-multiples et au collège l’écriture des puissances d’un nombre.

 La numération romaine, par exemple, plus ou moins connue car encore utilisée de nos jours dans certains cas. Les romains ont utilisé des lettres majuscules  pour représenter les puissances de la base 10 : I=1, X=10, C=100, M=1000,en juxtaposant les lettres-chiffres dans l’ordre décroissant : par exemple XII=12 ou CXXI=121 . Première économie : pour ne pas utiliser neuf fois la lettre-chiffre ils ont créé des lettres-chiffres intermédiaires : V=5, L=50, D=500. Ainsi 8 s’écrira VIII et non IIIIIIII. Seconde économie : 4 s’écrira IV et non IIII, I se retranchant de V parce que placé à gauche de V et non à droite. De même pour XC=90 ou CM=9OO.

      Beaucoup plus tard, l’introduction du chiffre 0 et des chiffres arabes, toujours employés, a permis de représenter chaque puissance de la base par un seul signe. Il suffit, pour constater le progrès d’écrire le nombre 999 dans la première écriture romaine, puis dans la seconde et enfin de nos jours.

 

      Démarche. Dès l’école maternelle (section des grands) on peut préparer l’élève à la notion de collection : mettre un nom sur une collection, Pourquoi ce nom ?,  construire une collection dont le nom a été fixé à l’avance, prendre un objet quelconque, peut-on l’y ajouter ?Pourquoi ?.

      On utilisera d’abord le fait que la suite orale des nombres n’a besoin de la numération qu’à partir de 17. En effet, nous avons des noms pour les nombres jusqu’à 16.

      On partira d’une collection de 12 éléments par exemple qu’on peut quantifier en utilisant la liste orale de la suite des nombres. On peut alors écrire au tableau : neuf et un égale dix, dix et un égale onze, onze et un égale douze. L’élève découvre ainsi qu’on a les noms, mais plus les signes, pourquoi ? Parce qu’il faudrait inventer un signe pour chaque nouveau nombre et ça deviendrait vite impossible à mémoriser. On a alors décidé pour les signes de s’arrêter à 9, et de faire un paquet avec 9+1 c'est-à-dire dix. Dix est donc un paquet.

      Onze est un paquet plus un, douze un paquet plus deux. Douze peut donc s’écrire P2 ou 2P, ce qui est plus économique. Mais 2P est ambigu, car ça veut dire  aussi deux paquets. Donc on gardera P2, et on écrira toujours les paquets en premier.

      On peut alors revenir à dix, qu’on écrira comment ? P et rien, pour écrire rien on écrira 0. 0 veut dire rien, ce n’est pas un nombre (ce qui est normal puisque concrètement un ensemble vide n’est pas une quantité), c’est un simple signe. Donc dix (le paquet) s’écrira 10, onze 11, douze 12, etc.…

      Le problème important ici, et qui peut avoir plus tard des conséquences, c’est l’apparition du zéro, car dans notre civilisation le zéro a été sacralisé. Identifié au cercle, ligne parfaite symétrique par rapport à son centre, finie et illimitée, le zéro a joué un rôle important dans notre civilisation vis-à-vis des nombres naturels. Il suffit de rappeler le millénarisme et les terreurs de l’an 1000 (qui comptait trois zéros !), et les erreurs de fins de siècles : 1900 début du dix-neuvième siècle (alors que l’année clôturait le dix-huitième !) ou 2000 début du troisième millénaire.

      Il faudra donc insister sur la valeur de signe du zéro dans l’apprentissage de la numération. Plus tard, dans le secondaire, l’élève abordera la notion d’ensemble vide, notion abstraite puisqu’elle ne peut se concrétiser, mais utile au raisonnement. Ainsi pour définir deux ensembles disjoints, on peut dire ‘’qui n’ont aucun élément commun ‘’ou ’’dont l’intersection est un ensemble vide’’. La seconde définition peut se mettre en équation et entrer ainsi dans des raisonnements, la  première non. Bel exemple de pensée abstraite raisonnant sur des abstractions pures.

      Il faut donc assurer une maîtrise correcte de la notion de numération, ce qui permettra plus tard à l’individu de mieux comprendre le fonctionnement de l’informatique et de tout ce qu’on appelle le numérique, basé sur la numération binaire, qui peut être traduite par des courants électriques : 1 le courant passe, 0 le courant ne passe pas.

 

OPERATIONS 

On enseigne toujours les opérations comme il y a trente ans, or la vie sociale a fortement évolué dans ce domaine avec la généralisation des appareils de calcul, et en particulier des calculettes.

      Historique : Nos ancêtres ont inventé les opérations pour économiser du temps dans leurs calculs. Elles répondaient donc à un besoin d’économie. De nos jours les calculettes réduisent le temps d’une opération à quelques secondes, avec une manipulation simple. Mais l’étude des algorithmes opératoires-(algorithme : suite finie d’opérations élémentaires constituant un schéma de calcul.) permettait aussi de développer la mémoire et favorisait le calcul mental, entièrement basé sur cette mémoire.

Objectif : faire découvrir à l’élève que les opérations - dont il a une connaissance plus ou moins précise par la vie sociale –constituent une importante économie de calcul. Mais ne jamais oublier que l’essentiel est de découvrir le sens de l’opération, c'est-à-dire le moment où on doit l’utiliser et pourquoi. Trop d’élèves essaient de deviner l’opération à faire sans vraiment avoir compris la situation. Par exemple pour calculer le prix de 3 objets à 5€ ils écriront 3+5=8, confondant l’union de deux ensembles (addition) et l’union d’ensembles

équipotents (produit)

 

Addition - Objectif : Faire découvrir à l’élève qu’on peut calculer la quantité d’éléments de l’union de deux ensembles sans avoir à les décompter.(Nous utiliserons dorénavant le mot ensemble au .lieu de collection, mais nous ne chercherons pas à le faire apprendre à l’enfant qui le mémorisera à son rythme, à force de l’entendre).

      Démarche : Il faut faire jouer les élèves à construire des unions d’ensembles, ce qui suppose trouver un qualificatif commun aux éléments des deux ensembles distincts. Par exemple réunir des carrés bleus et des ronds bleus dans un ensemble de jetons bleus, ou des poires et des pommes dans un ensemble de fruits…On fixera ainsi d’abord le sens de l’opération.

     .Quand ce jeu sera maîtrisé par tous on .demandera aux élèves de faire un ensemble union de deux ensembles de deux et de trois éléments et de décompter le nombre d’éléments de l’union. Ils trouveront tous 5. On dira alors que 3 et 2 font toujours 5 et on écrira au tableau 3+2=5. On leur proposera de faire des unions d’ensembles avec tous les neuf premiers nombres et on notera les résultats, qu’on ordonnera ensuite dans un tableau que l’on affichera. On aura ainsi construit la table d’addition.

      On peut toujours décompter le nombre d’éléments d’une union, mais on va plus vite en utilisant le tableau, qu’on a donc intérêt à apprendre. On va plus vite avec la calculette, bien que ce ne soit pas sûr, on peut en faire l’expérience. Et quand je n’ai pas la calculette sous la main ?

      Pour la technique opératoire pour les grands nombres on utilisera la méthode    .traditionnelle.

 

Soustraction – Objectif : Faire découvrir à l’élève que la soustraction (différence) est un cas particulier de la somme. Il s’agit toujours de l’union de deux ensembles mais on connaît le cardinal de l’union et celui d’un ensemble ; on cherche le cardinal du second ensemble. La table d’addition donne le résultat.

      Démarche : comme pour l’addition faire jouer les élèves sur des unions d’ensembles avec les situations suivantes :’’j’en enlève, combien en reste t’il ?’’ ou ‘’que faut-il ajouter pour avoir tel nombre,’’ qui sont les deux cas de la soustraction.

      Dans le second exemple le mot ajouter risque d’induire une addition. De même que l’exemple suivant :’’Il me reste 12 billes dans mon sac, mais j’en ai enlevé 3 ce matin. Combien avais-je de billes ?’’ où le mot enlevé risque d’induire une soustraction. Il faut faire découvrir à l’élève que c’est la situation seule qui compte, et non les mots qui la décrivent. Il faut donc bien comprendre la situation, la jouer dans sa tête ou matériellement.

   C’est ainsi qu’on fixera définitivement le sens de l’opération.

 

  Multiplication – Objectif : Faire  découvrir à l’élève que la multiplication (produit) est encore un cas particulier de la somme. C’est l’union d’ensembles équipotents. Mais multiplicande et multiplicateur sont des cardinaux d’ensembles  de natures différentes. L’union de 2 sacs de 3 billes donne un ensemble de 6 billes. Multiplicande et produit ont des éléments de même nature (billes), alors que le multiplicateur est un ensemble de sacs. Toute la difficulté est là.

      Démarche : Faire découvrir, comme pour l’addition, que 3 et 3 font toujours 6, mais cette fois on dira ‘’2 fois 3 égale 6 et on écrira 2x3=6. On peut alors construire, comme pour l’addition, une table de multiplication. Qu’on pourra apprendre ! 

      On constatera que 2x3=6 et 3x2 =6, mais ce sont des situations très différentes, 2 sacs de 3 billes et 3 sacs de 2 billes. Autre exemple : 2kg de fruits à 3€ et 3 kg de fruits à 2€.  C’est la difficulté du produit

 

Division - Objectif : Comme pour la soustraction, la division (partition) est un cas particulier de la multiplication (produit). La nouvelle difficulté réside dans le .reste pour la division euclidienne. Ici les manipulations doivent être nombreuses pour que l’élève découvre la situation dans ce cas et puisse l’analyser. En apprenant en même temps la technique opératoire, sur des situations très simples, par exemple partager également 7 billes entre 2 élèves, et écrire 7/2=3 et il reste 1.

 

CONCLUSION . Il faudra que le maître sache clairement à quelle situation ensembliste correspond chaque opération et qu’à travers de nombreuses situations simples et vécues sous forme de jeux, l’élève découvre le sens de l’opération et puisse en calculer le résultat, ce qui lui fera économiser du temps.