INTRODUCTION. Revoir si possible mes textes antérieurs sur Pédagogie et épistémologie et sur Piaget..

      Nous avons vu en calcul qu’il fallait d’abord avoir recours à l’épistémologie, il s’agit aujourd’hui de formes et de leur grandeur. Pourquoi ? Parce que l’enfant doit être confronté, comme l’être humain à l’origine, à des problèmes de distances (grandeurs), de voisinage (topologie), et de formes (courbes, segments, polygones, cercles, etc…) qu’il doit communiquer et donc représenter. De plus l’enfant, pour aborder la géométrie, doit absolument maîtriser la notion d’espace (voir texte antérieur à ce sujet). Il faudra donc proposer des situations ou des jeux où l’élève aura besoin de connaissances géométriques afin de susciter l’intérêt et l’aider à construire sa structure de géométrie, cohérente et utile. D’où la nécessité d’un programme et d’une progression, fournis par les textes officiels. Nous verrons plus loin, dans l’étude du triangle, un bel exemple de cette démarche.

      Ce texte n’est pas un programme, c’est une proposition de démarche pédagogique pour l’enseignement de la géométrie

PRELEMINAIRES. Avant d’aborder l’étude des polygones il faut assurer quelques connaissances de base sur les notions de courbe, de droite, de frontière et de polygone.

      COURBES ET DROITES. L’enfant sait dessiner ou au moins gribouiller. Il sait donc tracer des traits qui représentent quelque chose : ce qu’il veut dire. La ligne est la trace d’un point qui se déplace (pointe de crayon par exemple), c’est une frontière entre deux territoires, deux tâches de couleurs par exemple. On la voit, mais elle n’a pas d’épaisseur ; on la représente par un trait. Faire découvrir aux élèves, en observant leurs dessins, que ceux-ci sont constitués de lignes droites (maisons) ou courbes (arbres). Le maître peut aussi faire des dessins au tableau. La droite est un trait qui permet d’aller tout droit d’un point à un autre, c’est le plus court chemin. On peut le matérialiser par un trajet dans la classe ou la cour. Comment tracer une ligne vraiment droite ? En utilisant la règle (étude de son utilisation). En réalité on ne trace jamais que des morceaux de droites (segments) car on peut toujours les prolonger.

       NOTA ; Le problème important du vocabulaire mathématique avec l’enfant se pose avec le mot segment. Il ne faut jamais imposer un vocabulaire technique, il faut faire  découvrir  à l’élève l’utilité et la nécessité d’un vocabulaire précis pour éviter l’ambiguïté et parfois l’erreur dans la communication. On acceptera donc  un morceau de droite, qu’on rectifiera en segment, et c’est par répétition que l’élève découvrira l’importance du mot précis. C’est d’ailleurs ainsi que nous avons appris le langage et que nous continuons de l’enrichir

       FRONTIERES. C’est une ligne fermée et c’est une notion essentielle en mathématique, que l’on oublie souvent d’enseigner. On peut, sous forme de situations observées ou de jeux, amener l’élève à découvrir cette notion. Par exemple prendre un objet dur ayant une surface plane et décider de coller sur cette surface un papier coloré. Comment faire ? Il y a plusieurs possibilités, mais la plus simple est de prendre une empreinte de la face sur le papier avec un traceur pour faciliter le découpage. On constatera que plus le trait est fin, plus le découpage est précis. En observant le dessin on constate que c’est toujours une ligne fermée. Cette ligne s’appelle une frontière, qui détermine un dedans (intérieur) et un dehors (extérieur), et on ne peut jamais passer de l’intérieur à l’extérieur, ou l’inverse, sans traverser la frontière. On observe qu’une frontière est constituée de morceaux de courbes et de morceaux de droites. C’est l’occasion d’apprendre à l’élève un moyen  mathématique de sortir d’un labyrinthe. Celui-ci est constitué par deux territoires séparés par un chemin. Avant d’entrer je suis hors des territoires, en en sortant je suis encore hors des territoires ; il suffit donc de ne jamais entrer dans un territoire. Pour cela, en entrant dans le chemin, on touche un côté de l’entrée et on suit l’obstacle sans jamais le lâcher, jusqu’à la sortie, où on arrive  mathématiquement ! S’il s’agit d’un labyrinthe dessiné il suffit de suivre un des traits représentant le bord du chemin avec un crayon de couleur

      POLYGONES. Il est utile, et même nécessaire d’aborder la notion de polygone avant

d’étudier les polygones au programme. Et même de rappeler rapidement ces notions avant l’étude d’un polygone ; cela fera gagner finalement beaucoup de temps.

     Le polygone est une frontière  faite de segments. Faire placer des points au hasard (4 ou 5 seulement) sur la feuille ou au tableau et les relier par des segments pour en faire une frontière. Il ne doit rester aucun point ni à l’intérieur, ni à l’extérieur. On a un polygone. Les segments s’appellent les côtés, les coins s’appellent les sommets. Compter les côtés et les sommets, que constate t’on ? Il y a toujours le même nombre de sommets que de côtés. On peut peut-être tracer d’autres segments pour relier les sommets entre eux ? Ces segments s’appellent des diagonales, et elles sont toutes à l’intérieur ou à l’extérieur du polygone. Deux côtés ne se coupent jamais, sinon on a deux polygones. On ne s’intéressera à l’école qu’aux polygones qui n’ont aucune diagonale extérieure (convexes).

On utilisera surtout les jeux pour l’étude des divers polygones car il s’agit ici d’étudier les caractéristiques et les propriétés d’un polygone donné, ce qui ne correspond pas à un besoin, par exemple un triangle isocèle ou les diagonales d’un carré. Il faut donc trouver un moyen d’intéresser l’élève à cette étude. Le jeu crée l’esprit de compétition et l’émulation. Il peut consister en une question : Que peut-on dire sur le triangle ? Comment peut-on l’appeler pour le définir et le construire ?  

      Dans le second degré, plus tard, l’élève ayant acquis la pensée abstraite, on pourra proposer la recherche pour la recherche, afin de développer les moyens disponibles pour trouver la réponse à une question nouvelle, voire faire une découverte mathématique. Exemple de Le Verrier astronome français qui, par ses calculs, permit la découverte  de la planète Neptune.

      On travaillera donc par petites équipes. Se pose alors le problème de la copie, un équipier se contentant de répéter ce qu’un autre a découvert. Il ne faut pas oublier que la copie peut être utile, car elle permet la mise en mémoire. C’est d’ailleurs elle que les maîtres utilisaient il y a soixante ans dans les classes où des tableaux, réalisés par le maître et affichés sur les murs, rappelaient les tables d’addition, de multiplication, les conjugaisons. Quand nous avions un trou de mémoire, il suffisait de les regarder (copie) pour y remédier. On a hélas perdu ce moyen pédagogique. Mais la copie peut être nocive quand il s’agit d’un contrôle pour faire le point des acquis. Elle trompe alors le maître et l’élève qui ne recevra alors aucune aide, le résultat étant satisfaisant. C’est ce qu’avait compris C. Freinet avec sa technique des fichiers autocorrectifs qui aidaient l’élève à comprendre le rôle de la copie.

      TRIANGLE. Je voudrais ici citer un souvenir personnel. Lors d’une inspection j’assiste à une leçon sur le triangle. Les élèves travaillent par petites équipes de recherche. Tous les élèves savent ce qu’est un triangle. Le maître demande : comment appeler un triangle pour pouvoir le construire ? Après un moment de recherche les réponses fusent : polygone de trois côtés (classique), polygone de trois sommets (exact), polygone sans angle droit (faux), polygone sans diagonale ! Je suis stupéfait. Des élèves viennent de proposer  une définition mathématique du triangle que je n’avais jamais entendue et à laquelle je n’avais jamais pensé ! Les élèves de cette classe créaient leur mathématique.

      QUADRILATERES.  On ajoute un côté au triangle et on a une figure  de quatre côtés qu’on appelle quadrilatère. Il y a bien sûr quatre sommets, et il y a des diagonales. Observons : il y a deux diagonales qui se coupent toujours. On peut même trouver pourquoi : une diagonale divise le quadrilatère en deux territoires (frontière) et les deux sommets restants sont toujours des deux cotés de la frontière, qu’il faut donc traverser pour aller de l’un à l’autre. Ca ne sera pas toujours vrai, par exemple pour un octogone. Il suffit qu’il y ait trois sommets du même côté d’une diagonale. On voit que la recherche par l’élève, guidée et aidée par le maître, peut devenir motivante sous forme de jeu.

      On peut ensuite aborder l’étude des quadrilatères particuliers en imposant de nouvelles conditions de construction et en proposant un jeu d’observation : construire 2 côtés parallèles (trapèze), non étudié au niveau de l’école. On retiendra simplement le nom correspondant à la forme ; si des remarques juducieuses sont faites on les approuvera sans demander de les retenir. Ensuite 4 côtés parallèles 2 à 2 (parallélogramme), les côtés sont égaux 2 à 2 et les diagonales se coupent en leur milieu. Si on impose les 4 côtés égaux (losange) on constate  que les diagonales sont perpendiculaires. Puis un angle droit (rectangle), les 4 angles sont droits et les diagonales sont égales. Enfin si on impose au parallélogramme les 4 côtés égaux et un angle droit on a un losange-rectangle, c'est-à-dire un carré, et on sait tout sur lui. On a fait ainsi découvrir à l’élève que les découvertes en géométrie constituent une structure, au sens Piagétien du terme, et s’étayent les unes les autres. Toute découverte nouvelle est un enrichissement car elle servira à en  découvrir d’autres. Pour les quadrilatères ils ont découvert leur emboîtement : quadrilatère – trapèze – parallélogramme - losange – rectangle, et carré.

      LE CERCLE. En général le cercle est vécu par l’élève comme une nouveauté difficile à intégrer. Or le cercle est la suite normale des polygones

      Au moment de l’étude du cercle l’élève connaît cette figure et son nom, et il sait souvent le construire avec un compas. Fortifier cet acquis de construction.

      Faire construire un cercle et un hexagone régulier inscrit avec le compas. Lui apprendre à doubler le nombre de côtés en utilisant le compas pour trouver le milieu de l’arc. C’est un jeu qui peut l’intéresser car il dispose alors d’un truc pour construire des étoiles. Revenons à l’hexagone : faire construire les diagonales passant par le centre, on a ainsi six triangles et le périmètre de l’hexagone –qu’on ne calculera pas - est égal à la somme des bases des triangles, soit six fois la base commune. Et c’est vrai chaque fois qu’on double le nombre des côtés. Or il arrive un moment où on ne peut plus distinguer le périmètre du polygone et le cercle. Ils ont découvert que le cercle est la limite d’un polygone inscrit dont on double indéfiniment le nombre de côtés. Il est donc une suite normale des polygones. On peut trouver la formule de

calcul de l’aire du polygone : périmètre multiplié par la hauteur des triangles et divisé par deux. Ce qui donne pour le cercle : périmètre du cercle multiplié par le rayon et divisé par deux.

      Les égyptiens ont découvert par l’expérience que le périmètre du cercle était toujours égal au diamètre multiplié par un nombre entre 3 et 4, puis ils ont affiné et trouvé entre 3,1 et 3,2. Faire faire l’expérience aux élèves en utilisant un cercle d’un diamètre de 2cm découpé dans un matériau dur (plastique ou autre) qu’on déplace avec soin le long d’une ligne droite. On a donc : périmètre du cercle égale diamètre multiplié par un nombre constant, ce nombre a été appelé  pi, ce qui donne la formule 2 pi R, et permet de trouver la formule de calcul de l’aire..

      Le cercle est devenu un cas limite des polygones inscrits et trouve donc sa place dans la structure cohérente des polygones.

      AIRES. Il est bon de différencier dès le cycle élémentaire  aire et surface, la surface étant pour les polygones le morceau de plan délimité par la frontière (et pour les volumes le morceau d’espace délimité par la frontière, qui est alors une surface).

      On commencera par la mesure de l’aire du rectangle, la plus facile à découvrir, le carré étant  un cas particulier du rectangle. Pour les autres polygones on reprendra la forme de jeux de pliage, de découpage et de puzzles pour découvrir que l’aire du losange est la moitié de l’aire d’un rectangle, celle du parallélogramme ou du trapèze ramènent aussi à l’aire d’un rectangle. On peut donc par découpage calculer l’aire de n’importe quel polygone, convexe ou concave

      PROBLEME DES PROGRAMMES. On pourra s’inspirer du schéma d’étude ci-dessus en respectant les programmes. On ne retiendra (mise en mémoire) des découvertes au cours des jeux que ce qui correspond au programme de la classe, le reste sera repris et mémorisé ultérieurement. Mais les programmes suivent à très peu près la progression ci-dessus. 1^er cycle : Organisation de l’espace (topologie) et analyse de trajets. 2éme cycle : Frontières et polygones. 3émé cycle : pour le cercle on peut faire découvrir par jeu le lien avec les polygones. On part d’un polygone régulier inscrit ( l’hexagone par exemple, qui est le plus facile à construire dans un cercle) dont on double le plus longtemps possible le nombre de côtés en traçant les médiatrices aux côtés. On découvre alors que le cercle est la limite d’un polygone régulier inscrit dont on double indéfiniment le nombre des côtés Cela lui permettra de mieux comprendre plus tard le calcul du périmètre et de l’aire du cercle. .

      CONCLUSION.

      Ce texte n’est ni un programme, ni des instructions de réalisation du programme. C’est une réflexion ouvrant la voie à un principe de pédagogie, une pédagogie de la découverte s’appuyant sur des jeux, pour provoquer une motivation chez l’élève. La mathématique est très souvent vécue, dès ses débuts, comme une obligation d’apprendre par cœur des formules, des nombres, des définitions, dont beaucoup ne serviront plus après l’école. C’est ce qui explique le rejet des maths par de nombreux adultes. La mathématique ne s’apprend pas, elle se découvre, elle s’invente. - (Voir mon texte sur l’arithmétique).