SYSTEME METRIQUE - Mesure des grandeurs

 

INTRODUCTION.

      Une grandeur est ce qui peut être estimé (évalué), mesuré. La mesure des grandeurs a été peu à peu inventée par l’être humain pour maîtriser sa vie quotidienne : communiquer avec l’autre lors du troc, connaître ses propres réserves ou les réserves du groupe. C’est en créant des situations identiques dans la classe qu’on pourra construire le système métrique

       On commencera par remarquer que toutes les grandeurs ne sont pas mesurables. Par exemple la grandeur d’un sentiment ou d’une émotion. Car on ne peut établir une unité objective. La grandeur mesurable est en effet une grandeur qu’on peut évaluer par un rapport (nombre) à une grandeur de même espèce prise pour unité. Une grandeur mesurable est donc obligatoirement concrète ; et utiliser des nombres pour une grandeur subjective, non concrète, est donc une escroquerie, largement utilisée, hélas, par la publicité, nous le verrons plus loin. Ce qui rend plus difficile pour l’élève la construction du système métrique.

      Aujourd’hui les mesures servent constamment pour l’achat, le choix, et l’enfant connaît déjà l’utilisation pratique des mesures. Mais il ignore ce qu’est une mesure de grandeur.

      On aura intérêt à raconter l’histoire des mesures. A l’origine il fallait connaître la quantité de produits échangés, pour rendre l’échange équitable, plus tard la quantité de produits stockés pour programmer leur utilisation.  Au début on a choisi des unités ambiguës (pied, pouce, graine,…), mais commodes parce que disponibles partout. Cependant les unités variaient d’un lieu à un autre et compliquaient les échanges. On a donc pris des unités étalons, concrétisées matériellement et utilisées par tous. Ces unités ont varié au cours des temps, mais existent toujours (mètre-étalon).

      L’existence des unités a entraîné l’utilisation des nombres.

      Or notre société a sacralisé les nombres, qui sont certes un formidable outil pour les sciences et les techniques, mais qu’on a transformé peu à peu en Deus ex machina, et cette transformation est utilisée largement par la publicité dans tous les médias, pour attirer l’attention sur un produit. Comment peut on par exemple réduire de 70% une ride ? Que mesure t’on ? La longueur ?  la largeur ?  la profondeur ?  et comment mesure t’on ces grandeurs ?  L’élève ne comprend plus après ce qu’est une grandeur mesurable, mais il accepte volontiers le message

 

LA MESURE.

      Pour toutes les grandeurs la démarche pédagogique sera la même, c’est la chronologie de la construction de la mesure.

  1. Découverte et précision de la grandeur car en français, nous le verrons, le mot désignant la grandeur est souvent ambigu.
  2. Découvrir un moyen de comparer et de vérifier la différence ou l’équivalence de deux grandeurs (> < =).Nous verrons que se pose ici la question du matériel pédagogique
  3. Découvrir un moyen de trouver la somme de deux grandeurs.
  4. Mesurer  (problème du nombrer entier).
  5. Choix de l’unité.

 

LES LONGUEURS.

   

         Ce sont les grandeurs les plus disponibles et les plus familières aux enfants, donc les plus faciles à apprendre à mesurer et découvrir à cette occasion en quoi consiste une mesure de grandeur.

     

      Se posent ici deux problèmes :

      Notion de longueur. L’ambiguïté du mot longueur qui  sert à désigner la grandeur, mais aussi une dimension du rectangle, par exemple, alors que toutes les dimensions d’un polygone sont des longueurs. Il peut aussi désigner une durée (la longueur d’un discours ou d’une attente). Il faudra donc prendre des exemples pour désigner la grandeur qui nous intéresse : distance entre deux points et en particulier entre deux extrémités d’un segment.

      Matériel. Le choix d’un matériel pédagogique pour faciliter les manipulations et les expériences. Il y avait, dans les années 60, le matériel Cuisenaire qui était excellent, j’ignore s’il existe toujours, mais il est facile d’en fabriquer un qui s’en inspire. Prendre du bristol, ou un équivalent, découper des bandes de 1cm, puis découper des morceaux de  1cm, 2cm, 3cm, jusqu’à 10cm y compris. Colorier les bandes obtenues de couleurs différentes, toutes les bandes de même longueur doivent être de même couleur. Il faut plusieurs bandes de même couleur pour un matériel individuel, surtout les plus courtes. On peut prévoir un matériel pour deux ou trois élèves, car le travail en petits groupes est  le plus efficace ici.

      On peut alors passer à la découverte de la mesure, car la grandeur longueur est matérialisée par le matériel, qui deviendra rapidement familier aux enfants.

      Ne pas oublier qu’il faut toujours, en math, faire découvrir à l’élève pourquoi la nouvelle notion a été découverte, c'est-à-dire le mettre dans la nécessité de découvrir la notion. Ici on prendra des situations vécues de mesure de longueur, par exemple l’achat d’un ruban ou d’un tissu d’une longueur donnée. Pour cela on prendra un bout de ficelle qu’on comparera à la longueur désirée, car on ne sait pas encore mesurer les longueurs, au sens mathématique du terme, même si on sait se servir d’un mètre dépliant.

      Comparer. Prendre 2 rubans de couleurs différentes, quel est le plus long (le plus grand) ? le plus court (le plus petit) ?  Comment en être sûr ? Pour 8 et 9 par exemple ce n’est pas évident s’ils sont éloignés et perpendiculaires. Pour comparer il faut les mettre l’un contre l’autre, avec l’une des extrémités en coïncidence. On donnera alors leur nom aux bandes et on pourra décrire les situations expérimentées, par exemple : 5>3, qui peut s’écrire 3<5. On pourra écrire plus grand ou plus petit mais on peut profiter de l’occasion pour présenter les symboles mathématiques < et>, sans les imposer.

      Découvrir l’égalité. Contrôle : les deux extrémités coïncident

      Somme de deux longueurs. Faire découvrir l’alignement et les conditions exactes de la mesure. Faire vérifier par exemple avec les rubans colorés que 5+3=8. L’élève va découvrir alors qu’il a un moyen rapide de trouver la réponse, c’estd’utiliser ce qu’il sait déjà (numération, opérations) . Il découvre l’utilité des math, il n’a plus besoin de manipules des longueurs ! Les math sont un formidable outil qui facilite la vie courante

      Découverte de l’unité. Comment faire pour pouvoir toujours communiquer ? Il suffit de se mettre d’accord sur une longueur-unité utilisée par tous. Il faut ici expliquer que les unités ont évolué au cours des siècles (aune, arpent,…) et varient encore aujourd’hui d’un pays à l’autre ( inch, yard, …), ce qui complique la communication .

      Quand la longueur est trop grande il faut un trop grand nombre pour l’exprimer. Il suffit alors de prendre un multiple de l’unité comme unité secondaire. Etude des multiples.

      Découverte des sous multiples. La mesure parfois ne tombe pas juste. Il suffit de prendre alors une unité plus petite, et le mieux est de prendre un morceau de l’unité. Etude des sous multiples.

      Il serait intéressant, pour le futur citoyen, d’entraîner l’élève à mémoriser des longueurs

-références pour pouvoir évaluer rapidement par la suite une distance.

      Prendre les mesures exactes de la classe (longueur, largeur, hauteur), de la porte, d’une fenêtre, et essayer de les mémoriser. Même chose pour le bureau du maître , certains meubles, choisis pour servir de référence pour évaluer, par comparaison, certaines distances. C’est ce que nous faisons dans la vie courante. Penser aussi à des longueurs de trajets : 10m, 20m 50m 100m. Ne pas accumuler les exercices de ce genre en un temps réduit. Après l’étude des longueurs saisir les occasions dans la vie de la classe pour choisir collectivement une longueur-repère.

     

       LES POIDS. L’invention des mesures par l’homme a été découverte avec leslongueurs.On pourra ici poser la question : « Pourquoi pèse t’on des marchandises ? », cequipermettra une consolidation de la notion de mesure.

      Notion de poids. Le poids est une force. Pour soupeser, la main doit faire un effort (force) pour résister à l’effet de la pesanteur.

      Matériel. Le matériel nécessaire est une balance de type Roberval. Ce qui suppose des travaux communs à toute la classe.

      La démarche pédagogique sera la même que pour les longueurs.

      Comparer.  On peut se servir des mains pour soupeser, mais le résultat est contestable pour des poids très proches les uns des autres. Faire découvrir, ou rappeler pour certains, la loi des leviers, que les élèves utilisent dans certains jeux. On a là un moyen de comparer rigoureusement des poids. Exercices avec la balance Roberval. Découverte de < > =.

      Somme. La somme de deux poids est un poids, que l’on peut calculer, comme pour les longueurs.

      Unités. Etude des unités, multiples et sous multiples, comme pour les longueurs. Il peut être utile de signaler ici les divers outils de mesure de poids (balances automatiques, peson, bascule,…), mais toutes utilisent les mêmes unités.

      Comme pour les longueurs, chercher à mémoriser des poids-références pour évaluer un poids dans la vie quotidienne : 1kg, 0,500kg, 100g.

      LES CAPACITES. Les capacités sont connues des élèves car largement utilisées, comme les poids, dans la vie courante.

      La capacité est la contenance d’un récipient, c’est donc un volume, et quand plus tard nous étudierons, avec les volumes, la correspondance capacité-volume, nous verrons que cela pose de sérieux problèmes.

      Nous suivrons pour l’étude des capacités la même démarche pédagogique que pour les longueurs.

      Matériel : récipients divers, dont au moins un gradué.

      Comparer par transvasement

      Somme. Prendre deux volumes différents dans deux contenants en se servant du contenant gradué (l’élève sait s’en servir sans savoir qu’il mesure). Vider les deux contenus dans le  contenant gradué. Lire  le résultat. Noter les trois lectures. On constate là aussi que par exemple 3+2=5. On a donc un moyen de faire une somme de capacités sa            ns manipulation.

      Unités, connues par les élèves. Les redécouvrir et les organiser avec multiples et sous multiples.

      LES SURFACES. Lessurfaces ne se mesurent pas, elles se calculent.

      La démarche est connue : on part d’un rectangle dont les dimensions sont exprimées par un nombre entier de cm, et d’un carré de 1cm de côté. On compte combien le rectangle contient de carrés et l’on a la mesure de sa surface. Il suffit donc de mémoriser les différentes formules de calcul de surfaces (revoir le document sur la géométrie).

      On ne peut pas toujours comparer des surfaces (rectangle et sphère) on ne peut pas toujours additionner des surfaces (carré et cercle), on ne peut que comparer ou additionner des aires (nombres). Il ne s’agit donc pas de mesurer, mais bien de calculer.

      Le mot surface est ambigu car il s’agit en réalité du nombre exprimant l’aire d’une surface.

      Surface : ensemble des points de l’espace dont les coordonnées varient continûment en fonction de deux paramètres.

      Aire : expression de la mesure d’une surface.

      Dans le langage courant surface et aire sont considrés comme mots synonymes.

      Unités. Le problème pour les multiples et sous multiples est l’utilisation de la base 100 Pour aider l’élève à mémoriser cette base on rappellera que les longueurs ont une dimension, donc un zéro (10), alors que les surfaces ont deux dimensions, donc deux zéros (100). Il s’agit bien sûr d’un moyen mnémotechnique et non d’une règle mathématique !

      LES VOLUMES. Comme pour les surfaces les volumes ne se mesurent pas, ils se calculent à partir de formules à mémoriser. On suivra donc la même démarche que pour les surfaces, et on utilisera le même moyen mnémotechnique pour les unités : les volumes ont trois dimensions, donc trois zéros (1000)

      La vraie difficulté est dans la concordance des unités de volumes et de capacité.

      On part de l’équivalence 1dm3=1l, qu’il est facile de vérifier matériellement. Mais alors 1ml équivaut à 1 /1000ème de dm3 ou 1cm3, soit un cube de 1cm de côté, soit un dé à jouer environ. Or milli évoque quelque chose de très petit et on pense en général à une goutte et non à un dé à jouer. Il est intéressant de faire mémoriser cette équivalence car le cm3 est souvent employé en pharmacie.

      LA MESURE DU TEMPS. C’est la grandeur la plus difficile à mesurer. Mais est-ce une grandeur mesurable ? Le dictionnaire nous dit, à propos du temps : ‘’ Notion (c’est moi qui souligne) fondamentale conçue comme milieu infini dans lequel se succèdent les évènements ‘’.et en physique ‘’Milieu conçu comme une dimension de l’univers susceptible de repérage et de mesure’’.

      En réalité la prise de conscience du temps, au niveau phylogénique comme au niveau ontogénique, se fait à partir de la perception des rythmes et des durées. Mais cette perception peut être intérieure, donc subjective (une durée peut paraître trop longue ou trop brève, un rythme agréable ou irritant) ; il ne s’agit plus là de grandeur mais d’une réaction affective à une perception, elle peut être aussi extérieure et donc objective car pouvant être observée  par tous (rythme des saisons, des jours et des nuits,… durée de la journée…). C’est cette dernière perception objective qui peut être mesurée.

      Essayons de résumer comment l’humanité est arrivée à la notion de temps. Nos lointaine ancêtres ont noté des rythmes visibles par tous, celui du soleil, qui règle nos rythmes du sommeil et du travail, de la lune qui règle le rythme des marées. Les premiers calendriers seront solaires pour les peuples continentaux (Babyloniens, Mayas), les premiers calendriers lunaires pour les peuples marins (grecs, arabes). Mais ces calendriers étant très nombreux et très différents ne vont pas faciliter les échanges pendant des millénaires.

      Comme pour l’écriture et la numération qui sont nées de l’avènement des grands empires pour assurer une unité, les calendriers eux aussi ont suivi l’histoire des empires. Et les progrès de l’astronomie et des mathématiques ont permis d’établir des calendriers assez précis pour pouvoir faire des prévisions.

      C’est J.César qui est à l’origine de notre calendrier quand en 46 ap J.C. il a imposé le calendrier Julien, qui comptait 445 jours ! 1500ans plus tard le pape Grégoire XIII impose le calendrier grégorien à la catholicité. Mais ces calendriers imposés demanderont beaucoup de temps pour être acceptés par tous. Notre calendrier actuel n’a été adopté qu’en 1873 par le Japon, en1917 par la Russie, et en 1949 par la Chine !

      Il serait peut-être utile de consacrer un temps à cette étude, en dehors des mathématiques, avant d’aborder la mesure du temps pour que l’élève comprenne qu’il s’agit d’une grandeur très spéciale

      Mesure. Actuellement la mesure du temps est réalisée grâce à des instruments de mesure et il est pratiquement impossible de faire découvrir à l’élève l’histoire de l’invention de ces instruments. Il s’agit donc de lui apprendre à lire l’heure et surtout à maîtriser les unités de mesure et les opérations sur ces unités, ainsi, et surtout, que les rapports entre elles : année, mois, jour, heure, minute, seconde, selon les techniques habituelles.

      LA MESURE DE LA TEMPERATURE. Ici il ne s’agit plus de mesure mais d’évaluation. Si 15=12+3, 12 n’est pas le double de 6. On lit donc une température et on peut comparer deux lectures (> < ou =) mais on ne peut pas opérer sur elles ; on peut évaluer une différence.

      CONCLUSION.

      Il  s’agit de faire découvrir à l’enfant ce qu’est une grandeur mesurable et ne pas confondre mesure et lecture d’un instrument de mesure, et maîtriser l’utilisation des mesures. 

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