Compte-rendu personnel du stage Maths animé par Jany Gibert

Les 30 et 31 octobre 2003 – Ecole élémentaire Antoine Balard - Montpellier

Comment aider les enfants à entrer dans le monde du signe mathématique ?

Comment permettre aux enfants de passer du réel au monde des signes ?

« Faire des mathématiques, c’est "se résoudre" des problèmes. »

Références :          J. Julo : les représentations

                   R. Duval : les registres sémiotiques

Les séances de résolution de problèmes consistent à utiliser tous les moyens disponibles pour résoudre ces problèmes.

Ce qui pose problème dans une situation mathématique n’est pas forcément la structure logico-mathématique du problème. Ce peut être le contexte (l’habillage) dans lequel elle est proposée et la nature des nombres mis en jeu (la nature des variables didactiques).

La question n’est pas de connaître « le sens des opérations » mais plutôt d’apprendre à s’y référer en fonction des situations proposées. Par exemple pour l’addition, il serait très difficile de déterminer une liste finie d’attributs sachant que la plupart des problèmes étudiés en primaire peuvent se traduire par des problèmes additifs (par exemple la composition de transformation –3 et –5 correspond à une addition de 3 + 5) et donc qu’il existe une foule d’attributs que l’on découvre tout au long de sa scolarité. En ce sens, la construction du concept abstrait d’addition peut difficilement être acquise selon l’approche développée par B. M. Barth. Ce concept d’addition se construit en fait sur le temps par complexification des structures existantes.

Les enfants sont donc conduits à passer progressivement des objets et des choses réelles (le dessin d’une fille par exemple) à des objets symboliques (un rond pour une fille) puis à des représentations par des signes (« 3 » par exemple). Ces passages sont tous marqués par le principe de bijection (association terme à terme).

Le nombre est un outil mathématique qui permet d’économiser une collection de juxtapositions d’unités. C’est en ce sens qu’il est un signe mathématique. Pour les enfants, c’est un saut énorme que de passer d’une représentation sémiotique à un nombre.

L’hétérogénéité des niveaux dans une classe peut être gérée en proposant aux enfants des exercices à même structure mais avec des variables didactiques différentes, de manière à entrer progressivement dans de l’abstrait.

Pour les enfants, c’est l’utilisation d’outils sémiotiques qui pose problème. Ce qui est donc important pour eux est le fonctionnement de la numération.

Il s’agit de travailler sur les registres intermédiaires pour passer du réel au signe. On peut pour cela s’appuyer sur la démarche suivante :

1 – Au début, passer comme consigne de résolution de problèmes : « Tu fais comme tu veux, c’est le résultat qui compte. »

2 – Comme on ne peut pas indéfiniment se satisfaire des outils employés, il va s’agir de permettre aux enfants de faire le deuil des outils intellectuels qui ont marché jusque-là au profit d’outils mathématiques plus performants. Trois stratégies sont possibles pour faire évoluer ces outils :

  1. interactions entre pairs/coopération : travailler à plusieurs
  2. modification des variables didactiques
  3. présentation d’autres méthodes plus expertes : « essayage » et entraînements

3 – Constitution de « boîtes à outils mathématiques »

  1. simulations avec des objets signifiants ;
  2. représentations iconiques et procédures (naïves, symboliques et abstraites (selon la bijection). C’est à cette étape-là qu’apparaît le nombre ;
  3. représentations intermédiaires : patates, arbres, segments, diagrammes, tableaux, …

L’apprentissage du nombre

Chacun d’entre nous automatise des procédures mentales dont il n’est plus conscient (chacun compte selon un profil qui lui est propre mais qui semble avoir fait l’objet d’un apprentissage spécifique).

On trouve généralement deux grandes stratégies pour « compter » les éléments d’un ensemble :

-                           par vision globale et perception immédiate (3 par 3 par exemple) + calcul automatisé (3 + 3 = 6)

-                           par comptage successif : le comptage se caractérise par une combinaison de sous-compétences : maîtriser une musique rythmée de la comptine numérique, énumérer (pointer terme à terme), gérer l’organisation spatiale des éléments, considérer le dernier nombre énoncé comme le cardinal de la collection).

C’est grâce aux connaissances mémorisées que les enfants vont voir leurs tâches mentales facilitées. En ce sens, le calcul mental réflexe sera au service du calcul mental réfléchi. Les automatismes en connaissances numériques permettent des manipulations intellectuelles de la réalité. Par exemple, apprendre les tables de multiplication constitue pour l’élève un gain de mémorisation et de manipulation. L’essentiel est donc de montrer cette utilité et le lien qu’il y a avec la résolution de problèmes : « Pourquoi on fait ça … » Chacun doit en conséquence établir un ratio entre des activités mathématiques de recherche et des activités mathématiques d’entraînement. Ces entraînements peuvent se concevoir de manière individuelle (à partir notamment des plans de travail et des fichiers autocorrectifs) mais aussi de manière collective.

Ainsi donc, grandir en mathématiques, c’est utiliser des procédures de plus en plus complexes et abstraites qui peuvent correspondre à diverses situations psycho-cognitives, quelles que soient les variables didactiques.

Un des grand enjeux est donc de parfaire la connaissance de la numération de position et le concept du « zéro. »

En maternelle, le 0 peut être considéré comme le nombre correspondant à « y en n’a pas. »

Au CP, il « marque » l’emplacement d’une fléchette « hors cible » (5 + 4 + 4 + 0 ® 4 flèches lancées).

A partir du CE2, le 0 revêt un caractère d’évolution et d’efficience par rapport aux écritures numérales égyptiennes, chinoises et arabes. Ainsi, travailler à partir d’un minimum d’histoire des maths permet de faire des distinctions fondamentales entre ces écritures et donc de mettre du sens sur l’emploi du 0 dans notre écriture numérale.

Deux types d’activités de coopération peuvent contribuer à casser les représentations que les enfants ont traditionnellement des problèmes, à avancer l’idée que faire des maths, c’est pas seulement calculer des opérations. On parle ici de défis maths et de rallyes maths.

Les défis maths sont des énigmes mathématiques que l’enseignant propose aux enfants. A charge des élèves ou des équipes d’engager des recherches qui aboutiront ou pas. Le but est de trouver des solutions à partir des outils mathématiques que l’on dispose. Ces recherches peuvent se dérouler dans un climat soit de coopération collective (la classe entière se mobilise pour trouver des solutions), soit de coopération à l’intérieur de chaque équipe avec une émulation inter-équipes, soit de compétition.

Les rallyes mathématiques consistent à ce que ce soient les enfants qui établissent les énigmes mathématiques et qu’ils les soumettent aux autres enfants ou équipes. Ces rallyes peuvent s’organiser entre classes.

1 – Fabrication des énigmes (avec solutions par les auteurs) ;

2 – Recherches de stratégies de validation de l’énigme et de la solution ;

3 – Communication aux correspondants

A l’intérieur de la classe, on peut envisager que chaque équipe fasse une énigme puis la soumette à la réflexion des autres équipes avant de valider ou pas les solutions fournies. S’engage alors un débat entre les concepteurs et les chercheurs sur la pertinence de l’énoncé et la réponse attendue. Dans tous, les cas, c’est l’enseignant qui fournit le matériau d’élaboration des énigmes (cahiers, cartes, annuaires, cubes, …)

Isabelle Ferrandez a témoigné d’expérience de créations mathématiques avec des classes de « petits, » à partir du fichier PEMF « Incitation à la recherche mathématique 0. » Après l’exploration du fichier, les enfants ont été amenés à fabriquer de nouvelles créations mathématiques, aux autres d’engager un débat autour de : « Est-ce qu’il y a des mathématiques dans ces dessins ? » La recherche était collective et l’auteur intervenait pour donnait son avis. Ainsi donc, il est question d’articuler trois temps de travaux mathématiques : des moments de création, des moments de recherche et de mutualisation et des moments d’entraînements. Petit à petit, on passe ainsi de création mathématiques à des problèmes mathématiques collectifs.

Mot de la fin : le renversement qu’a proposé Freinet est que c’est plus l’enfant que le maître qui doit travailler dans la classe coopérative. C’est parce qu’il est en train d’expliquer aux autres qu’il est intellectuellement actif. L’articulation langagière organise la pensée. Ça rejoint le principe d’expression/communication en pédagogie Freinet. 

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